这道题要找两个正整数，使它们的最大公约数是13、最小公倍数是78。符合条件的数并不只有一组：按不区分顺序计算，答案是13和78，以及26和39。关键是先把共同的因数13提出来，再利用两个数最大公约数与最小公倍数之间的关系。

用最大公约数分解两个数

设这两个数分别为a、b。因为它们的最大公约数是13，所以都能写成13的倍数，令：

a＝13x，b＝13y

提取最大公约数13以后，x与y必须互质，也就是最大公约数为1。如果x、y还有大于1的公因数，那么a、b除了13以外还会共享这个因数，原题给出的最大公约数就不可能只有13。

当x与y互质时，a和b的最小公倍数为13xy。题目又告诉我们这个最小公倍数是78，因此：

13xy＝78，xy＝78÷13＝6

现在问题转化为：找两个乘积是6、并且互质的正整数。6的正因数配对只有1与6、2与3。两组中的两个因数都互质，所以都符合条件。

逐组还原两个数

• x＝1，y＝6：a＝13×1＝13，b＝13×6＝78，得到13和78。
• x＝2，y＝3：a＝13×2＝26，b＝13×3＝39，得到26和39。

题目没有规定两个数的大小顺序，因此13、78与78、13属于同一组；26、39与39、26也属于同一组。如果按有序数对书写，交换位置后会有四种写法，但按通常的“求这两个数”来理解，只有上面两组不同的答案。

代回条件检查

先检查13和78。13能整除78，因为78＝13×6；两数共有的最大因数是13，所以最大公约数为13。78本身是13和78的公倍数，而且它是能够同时被两数整除的最小正整数，因此最小公倍数为78。

再检查26和39。26＝13×2，39＝13×3；2与3互质，所以26和39的最大公约数为13。它们的最小公倍数是13×2×3＝78。两组数都完整满足题目条件。

也可以用乘积关系核对

对于两个正整数，两个数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积。因此这里有：

a×b＝13×78＝1014

若a＝13，则b＝1014÷13＝78；若a＝26，则b＝1014÷26＝39。这个方法能快速验算候选数。不过只用乘积关系时，还要回头检查最大公约数确实是13；仅仅乘积等于1014，并不能单独保证两个条件都成立。

为什么答案不止一组

“最大公约数为13”只说明两个数有共同因数13，并不意味着除去13之后只剩下一组选择。除去13后，两个互质因数的乘积必须是6，而6可以拆成1×6，也可以拆成2×3。每一种互质拆分都会对应一组符合条件的原数，所以不能只写13和78就断定它是唯一答案。

容易出现的误解是把78÷13＝6直接当成所求的两个数。6实际上是去掉公因数13后，两个新数的乘积，并不是原题中的其中一个数。还要把6拆成互质因数对，再分别乘回13，才能得到完整答案。

结论：满足条件的两组正整数是（13，78）和（26，39）。如果题目另有“两个数相邻”“两个数相等”或限定取值范围等条件，才需要在这些限制下继续筛选；按当前条件，两组都成立。