计算78和13的最大公因数与最小公倍数，结果分别是13和78。关键在于看出78正好是13的6倍：78＝13×6。因此，13既是两个数的公因数，78也已经是两个数共同的最小倍数。

最大公因数是13

公因数是能够同时整除两个数的整数。先分别看78和13的因数：

78的正因数有：1、2、3、6、13、26、39、78。

13是质数，它的正因数只有：1、13。

两组因数中共同出现的是1和13，其中较大的数是13，所以：

78和13的最大公因数＝13。

也可以用短除法或整除关系快速判断。因为78÷13＝6，余数为0，13能够整除78；而13的正因数只有1和13，不可能再有比13更大的公因数。

最小公倍数是78

公倍数是两个数的倍数中重合的数。列出一部分倍数，可以看到它们第一次相遇的位置：

13的倍数：13、26、39、52、65、78、91……

78的倍数：78、156、234……

最小的共同倍数就是78，所以78和13的最小公倍数＝78。这一步也能直接从整除关系得出：78本身既是78的倍数，也是13的倍数；而78的正倍数不小于78，因此不存在比78更小的正公倍数。

用分解质因数计算

把78分解成质因数，可得：

78＝2×3×13；　13＝13。

求最大公因数时，取两个数共有的质因数及其较低次方。两者共同含有的质因数只有13，因此最大公因数为13。求最小公倍数时，取出现过的所有质因数及其较高次方，得到2×3×13＝78。

这种方法适用于数字较大、不能一眼看出整除关系的题目。先分解，再区分“共同部分”和“全部需要覆盖的部分”：前者用于求最大公因数，后者用于求最小公倍数。

用公式复核结果

两个正整数相乘，等于它们的最大公因数与最小公倍数相乘，即：

最大公因数×最小公倍数＝两个数的乘积。

代入78和13，左边为13×78＝1014，右边为78×13＝1014，结果相等。这说明最大公因数13、最小公倍数78彼此吻合，也能帮助检查计算中是否把两个答案弄反。

这道题容易混淆的地方

• 最大公因数看“能共同除尽”。13能整除78，也能整除13，所以13是公因数；78虽然是78的因数，却不是13的因数，不能作为最大公因数。
• 最小公倍数看“共同的倍数”。78是13的6倍，同时也是78的1倍，所以78就是最小公倍数。
• 不要只看两个数是否不同。两个数不相同，并不代表最大公因数只能是1。这里13较小，却完整地包含在78的因数关系中。

还可以把结论放到实际分组中理解：有78件物品和13件物品，若要平均分成尽可能多组，并让两种物品都不剩下，最多可以分成13组。每组分到6件第一种物品和1件第二种物品，这里的组数正是最大公因数。若两种周期分别为78分钟和13分钟，同时开始后再次同时到达整周期的位置，最早是在78分钟后，对应最小公倍数。

因此，题目“78穿13”对应的两个核心结果可以直接记为：最大公因数是13，最小公倍数是78。